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運動方程式の共変形式

一般相対性理論と宇宙論

運動方程式の共変形式

ある慣性系における運動方程式は

　　（B1）
である．特殊相対性理論によって，運動量pは

　　（B2）
である．mは物体の質量である．vは物体の速度である．式（B1）の時間微分dtを固有時間の微分dτに変換すると

　　（B3）
となる．固有時間τの定義から

　　（B4）
であるので，方程式（B3）は

　　（B5）
となる．これは４元運動量pⁱ を使って表現される運動方程式の成文となる．

力fによって微小時間dtに行う仕事dWは

　　（B6）
で与えられる．運動方程式（B1）より式（B6）は

　　（B7）
となる．式（B2）より式（B7）は

　　（B8）
となる．式（B6）と式（B8）から

　　（B9）
となる．時間微分dtから固有時間の微分dτに変換すると

　　（B10）
となる．これは４元運動量pⁱ を使って表現される運動方程式の成文となる．したがって，４元力fⁱ は式（B5），（B10）より

　　（B11）
で与えられる. ４元力fⁱによって共変形式の運動方程式は

　　（B12）
となる．万有引力の場合には，物体間に作用する力f が万有引力の法則によって与えられているから，式（B11）によって４元力fⁱ を記述することができる．したがって，万有引力の法則を４元力fⁱ で記述することができる．

式（B11）によって与えれる４元力fⁱ と，『万有引力の法則の共変形式　試案２』で書き下した式（４６）の４元力fⁱ との関係が問題となる．式（B11）の４元力fⁱ の各成文の分母にがあるので，一見したところ万有引力の法則を４元運動量と４元運動量の相互作用とみる『万有引力の法則の共変形式　試案２』の見地と整合性がとれていると思われる．これらの関係は付録１０．共変形式の万有引力の法則のニュートン近似に示される．

４元力fⁱ の第０成分は次のようにしても求めることができる．

４元運動量pⁱ は

　　（B13）
と定義される．エネルギーE をcp⁰=E と定義する．これからエネルギーE と運動量p の関係

　　（B14）
が得られる．関係式（B14）をτで微分する．すると

　　（B15）
となる．これを移項すると

　　（B16）
となる．ところで，次の関係

　　（B17）
が成り立つ．なぜなら，式（B13）より

　　（B18）
となり，式（B17）の関係が見出されるからである．関係式（B17）を用いると，式（B16）は

　　（B19）
となる．これは，式（B5）より

　　（B20）
となる．式（B20）は式（B10）と同じである．

一般相対性理論と宇宙論

制作：須田隆良（2000/6/6）　修正（2000/12/25）

E-Mail: knxkg921@ybb.ne.jp

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