一般相対性理論と宇宙論
共変形式の万有引力の法則のニュートン近似
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６．万有引力の法則の共変形式 試案２で説明した万有引力の法則を具体的な問題に適用する．
これにより，
共変形式の万有引力の法則と
ニュートン力学における運動方程式および万有引力の法則との関係を示し，
さらに，
付録６．運動方程式の共変形式で示した４元力ｆi （Ｂ11）との関係も示す．
「万有引力法則の共変形式 試案２」により，万有引力の法則は
（Ｃ１）
である．
Ki は万有引力についての４元ポテンシャルである．
Ｌi は運動量密度ベクトルで
（Ｃ２）
で定義される．ｕi は４元速度で
（Ｃ３）
で定義される．定数αは
（Ｃ４）
とする．
Ki に相互作用する質量 m の物体が受ける力は，
重力場テンソル Hij を
（Ｃ５）
と定義したときに
（Ｃ６）
になると仮定する．
一般的にKｉ を解くことができる．
結果だけを記すと，体積要素 dv'，
体積要素 dv' から求める４元ポテンシャル Ki までの距離 r，
時刻 t-r/c における Li によって
（Ｃ７）
となる．
運動方程式は
（Ｃ８）
となる．
簡単な例として，原点に質量Ｍの質点Ａが静止している場合を考える．
質点Ａが静止しているので，４元ポテンシャルKi は
第０成分を除いて０となる．また L0=ρu0=ρc となる．
式（Ｃ７）より
（Ｃ９）
となる．
この場合，ニュートン力学によれば，ポテンシャルφは
（Ｃ10）
で与えられる．
ニュートン力学によれば，
ポテンシャルφによって質点Ａと万有引力相互作用する質点Ｂは，方程式
（Ｃ11）
に従って運動する．
式（Ｃ４），（Ｃ10）の関係によって，４元ポテンシャルKi は
（Ｃ12）
となる．
反変ベクトルの４元ポテンシャルKi を
共変ベクトルの４元ポテンシャルKi に変換すると
（Ｃ13）
となる．
定義式（Ｃ５）により，重力場テンソル Hij は
（Ｃ14）
となる．
共変テンソルの重力場テンソル Hij を
反変テンソルの重力場テンソル Hij に変換すると
（Ｃ15）
となる．
運動方程式（Ｃ８）より
質点Ａと万有引力相互作用する質点Ｂの運動方程式は
（Ｃ16）
となる．
右辺にある４元運動量Pi は
（Ｃ17）
であることに注意する．
運動方程式（Ｃ16）の第０成分は
（Ｃ18）
となる．
f=-m・gradφとおくと，式（Ｃ18）は
（Ｃ19）
となる．
これは付録６．「運動方程式の共変形式」で与えた４元力fi（Ｂ11） の第０成分と一致する．
運動方程式（Ｃ16）の第１成分〜第３成分は
（Ｃ20）
となる．
まとめると
（Ｃ21）
となる．これは４元力fi （Ｂ11）の第１成分〜第３成分に一致する．
質点Ｂの速さｖが光速ｃに比べて十分に小さいときには，τ＝ｔ となり，
方程式（Ｃ21）は
（Ｃ22）
となる．これは方程式（Ｃ11）に一致する．
一般相対性理論と宇宙論
制作：須田隆良(2000/12/1)
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