共変形式

共変形式とは，特殊相対性原理を満たしていることを明示的に表現した 物理法則の数学的な表現形式をいう． それは，特殊相対論的共変な演算子と， 特殊相対論的共変なスカラー，ベクトル，テンソルとの組み合わせで 表現されている．

電磁気学では，通常マクスウェル方程式が基礎方程式として記述されるが， マクスウェル方程式は，特殊相対論的共変な演算子と， 特殊相対論的共変なスカラー，ベクトル，テンソルとの組み合わせで記述されていないので， 共変形式で記述されていない．

そのため，特殊相対性原理を満たしているかどうか数式からは明らかでない． しかし，特殊相対性理論は電磁気学の考察の結果であるため， 当然に特殊相対性原理を満たしているはずである． そこで，電磁気学の法則を共変形式で書くと

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　　（２）

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将来の電磁気学の教科書は基礎方程式を，マクスウェル方程式でなく 方程式（１），（２）とするに違いない． なぜなら，方程式（１），（２）はマクスウェル方程式よりも少なく， 物理的意味も明瞭で記憶しやすいからである． すなわち，方程式（１）は波動方程式であり， ４元電流密度jⁱ を源にして４元ポテンシャルAⁱ が 真空中を光速で伝播することを表している． 一方，方程式（２）はローレンツ条件とよばれる． 方程式（１）をxⁱ で偏微分すると，式（２）により

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驚くべきことに方程式（１），（２）から 単純な計算によってマクスウェル方程式を導くことができる． したがって，方程式（１），（２）を記憶しておけば， マクスウェル方程式を記憶していなくてもよい． この後，マクスウェル方程式を導くのであるが， その導出は一般相対性理論の理解する上で有意義であると考える． というのは，完全に分かっている電磁気学と， あまり分かっていない万有引力とを対比することによって， 分かっている状態というのが明らかになり， 万有引力についてどのようなことを述べれば 分かったことになるのかが把握されるようになるからである． しかし，この作業は必ずしも必要ではない． 次章を読み飛ばしてもよい．