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マクスウェル方程式の導出
４元ポテンシャルAi から
導くことのできる２つのベクトルBと
Eを
（６）
（７）
と定義する．以後，Bを磁場とよび，Eを電場とよぶことにする．
磁場Bの div をとると，式（６）から恒等的に
（８）
となる．これは磁場に関するガウスの法則である．
電場Eの div をとると，式（７）から
（９）
となる．div(grad A0)=ΔA0 であることと，方程式（１）から得られる
（１０）
を用いると，式（９）は
（１１）
となる．
式（１１）にローレンツ条件（２）を代入すると
（１２）
となる．μ0c2=1/ε0とおくと，式（１２）は
（１３）
となる．ε0は真空の誘電率とよばれている．
これは電場に関するガウスの法則である．
磁場Bの curl をとると，式（６）から
（１４）
となる．ローレンツ条件（２）より得られる
（１５）
と，方程式（１）から得られる
（１６）
を式（１４）に代入すると
（１７）
となり，定義式（７）により
（１８）
となる．
ただし，H=B/μ0，D=ε0Eとおいた．
これはアンペールの法則である．
電場Eの curl をとると，式（７）から
（１９）
となる．curl (grad A0)=0 および定義式（６）を用いると，式（１９）は
（２０）
となる．これはファラデーの法則である．
したがって，方程式（１），（２）からマクスウェル方程式
（８），（１３），（１８），（２０）が導出されたことになる．
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