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まだ，重力場方程式には接近せず， 万有引力の法則を共変形式で記述せよという課題が与えられているのであるから， その課題から直接に万有引力の法則の共変形式を導き出す探索をしてみよう． この探索は無謀に思えるが，なにもその探索を制限するものはない． また，重力場方程式というアインシュタインによる解答が 妥当かどうか判断する上でも重要である． というのは，このような努力を少しばかり払っておくと， アインシュタインによるアプローチが浮かび上がってくるからである．
万有引力の法則はポテンシャルφを用いてポアソン方程式で記述できる．
（２２）
（２３）
（２４）
（２５）
（２６）
実は今までの議論で，
特殊相対論的共変な演算子，特殊相対論的共変なスカラー，ベクトル，テンソル
の定義を述べていなかった．ここで述べることにしよう．
慣性系Ｋの時間と座標をxi=(ct,x,y,z)と表記する．
慣性系Ｋとは別の慣性系Ｋ’の時間と座標を
x'i=(ct',x',y',z')と表記する．
慣性系Ｋでの物理量φ(xi)を座標変換し，
慣性系Ｋ’での物理量φ'(x'i)を求めたとき
（２７）
慣性系Ｋでの４元ベクトルＵ(xi)を座標変換し，
慣性系Ｋ’での４元ベクトルＵ'(x'i)を求めたとき
（２８）
（２９）
慣性系Ｋでの４元ベクトルＶ(xi)を座標変換し，
慣性系Ｋ’での４元ベクトルＶ'(x'i)を求めたとき
（３０）
（３１）
２つの反変ベクトルＡi，Ｂj の積
（３２）
２つの共変ベクトルAi，Bj の積
（３３）
反変ベクトルAi と共変ベクトルBi の積
（３４）ミンコフスキーの計量は
（３５）クロネッカーのデルタは
（３６）
（３７）
（３８）
（３９）
特殊相対論的共変な演算子とは，特殊相対論的共変なスカラーに演算すると，
その演算結果も特殊相対論的共変なスカラーとなり，
特殊相対論的共変なベクトルに演算すると，その演算結果も特殊相対論的共変なベクトルとなり，
特殊相対論的共変なテンソルに演算すると，その演算結果も特殊相対論的共変なテンソルとなるような演算子をいう．
一例：
再び式（２６）に戻り，この式（２６）を検討しよう．
c を無限大としたときに，□はΔに近似するので，式（２６）は式（２２）に一致する．
そのため，一見うまくいっているようだが，
φが特殊相対論的共変なスカラーであるところに問題がある．
万有引力は２物体間の距離に関係した大きさで作用する．
一方，特殊相対性理論では２物体間の距離は座標系に依存する．
つまり，φが座標系に依存する２物体間の距離の関数であるにもかかわらず，
特殊相対論的共変なスカラーであるとすると，
座標系に依存しない量でなければならなくなるので解釈がきわめて難解になる．
どうしても，式（２６）の形式で表現しようと思えば，距離概念の再考がせまられることになる．
例えば，単なる思いつきで書くと，距離を複素数とするなどの対策が必要であろう．
現時点では，これ以上の考察はできていない．
なお，この考察から相対論的量子力学のクライン-ゴルドン方程式
（４０）
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