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３つの慣性系間のローレンツ変換

Ｋ’系はＫ系に対して速度vでx軸方向に動くものとする．

光速度を c とすると、Ｋ系における座標(ct,x,y,z)からＫ’系における座標(ct',x',y',z')への変換は

　　　（Ｅ１）
である．これはローレンツ変換と呼ばれる．ただし，t=t'=0において系Ｋ，Ｋ’の原点は一致しているとする．

Ｋ’’系はＫ’系に対して速度wでx軸方向に動くものとする．

Ｋ’系における座標(ct',x',y',z')からＫ’’系における座標(ct'',x'',y'',z'')への変換は

　　　（Ｅ２）
である．ただし，t'=t''=0において系Ｋ’，Ｋ’’の原点は一致しているとする．

式（Ｅ１）および（Ｅ２）から，Ｋ系における座標(ct,x,y,z)からＫ’’系における座標(ct'',x'',y'',z'')への変換は

　　　（Ｅ３）
となる．行列の計算をすると

　　　（Ｅ４）
となる．Ｋ’’系はＫ系に対して速度uでx軸方向に動くものとする．

速度uを求めよう．Ｋ系における座標(ct,x,y,z)からＫ’’系における座標(ct'',x'',y'',z'')への変換は，速度uを用いると

　　　（Ｅ５）
である．式（Ｅ４）と（Ｅ５）は等しいから，変換を与える行列の１行１列成分も等しい．したがって，

　　　（Ｅ６）
である．両辺を二乗して分母を払うと

　　　（Ｅ７）
となる．uについて解くと

　　　（Ｅ８）
となる．したがって，

　　　（Ｅ９）
を得る．これは相対論的な速度の合成法則である．なお，式（Ｅ９）は数学的には正負一対の解となるが，ここでは図に基づき正の解だけを考える．

特殊例：
１．w=-vのとき，u=0である．ローレンツ変換は

　　　（Ｅ10）
となる．Ｋ系とＫ’’系は一致するので，ローレンツ変換は恒等変換となる．

２．w=vのとき，

　　　（Ｅ11）
である．ローレンツ変換は

　　　（Ｅ12）
となる．u=2vでないことに注意しよう．

３．v=w=0.9cのとき，

　　　（Ｅ13）
となる．一般に，おのおの光速度より小さい２つの速度の和は，光速度より大きくない．

応用

（追加：2003年12月20日）

今までの議論と同じように，Ｋ’系はＫ系に対して速度ｖでｘ軸方向に動くものとする．次に，Ｋ^（３）系はＫ’系に対して速度ｈでｙ軸方向に動くものとする．

Ｋ’系における座標（ct',x',y',z'）からＫ^（３）系における座標（ct⁽³⁾,x⁽³⁾,y⁽³⁾,z⁽³⁾）への変換は

　　　（Ｅ14）
である．ただし，t'=t⁽³⁾=0において系Ｋ’，Ｋ^（３）の原点は一致しているとする．

式（Ｅ１）および（Ｅ１４）から，Ｋ系における座標（ct,x,y,z）からＫ^（３）系における座標（ct⁽³⁾,x⁽³⁾,y⁽³⁾,z⁽³⁾）への変換は

　　　（Ｅ15）
となる．行列の計算をすると

　　　（Ｅ16）
となる．逆行列を求めることによって，逆変換を求めると

　　　（Ｅ17）
となる．Ｋ^（３）系の原点x⁽³⁾=y⁽³⁾=z⁽³⁾=0 を式（Ｅ１７）に代入する．すると

　　　（Ｅ18）
となる．各成分に分けると

　　　（Ｅ19）
となる．この式（Ｅ１９）の時間の変換式を用いると

　　　（Ｅ20）
を得る．この式（Ｅ２０）はＫ系において，Ｋ^（３）系の原点位置の時間変化を示している．下図のように，ｘ軸とＫ，Ｋ^（３）系の原点間を結ぶ直線の間の角度を θとし，Ｋ系においてＫ^（３）系の原点の速度をu'とする．

式（Ｅ２０）より

　　　（Ｅ21）
である．角度θは時間ｔによらず一定である．また，ｖ≪ｃのときには

　　　（Ｅ22）
となる．速度u'の大きさを求めると

　　　（Ｅ23）
となる．ｖｈ≪ｃ²のときには

　　　（Ｅ24）
となる．

Ｋ^（４）系がＫ^（３）系に対して速度ｓでｚ軸方向に動いているものとする．

Ｋ^（３）系における座標（ct⁽³⁾,x⁽³⁾,y⁽³⁾,z⁽³⁾）からＫ^（４）系における座標（ct⁽⁴⁾,x⁽⁴⁾,y⁽⁴⁾,z⁽⁴⁾）への変換は

　　　（Ｅ25）
である．ただし，t^(３)=t^(４)=0において系Ｋ^(３)，Ｋ^（４）の原点は一致しているとする．

式（Ｅ１６）および（Ｅ２５）から，Ｋ系における座標（ct,x,y,z）からＫ^（４）系における座標（ct⁽⁴⁾,x⁽⁴⁾,y⁽⁴⁾,z⁽⁴⁾）への変換は

　　　（Ｅ26）
となる．行列の計算をすると

　　　（Ｅ27）
となる．逆行列を求めることによって逆変換を求めると

　　　（Ｅ28）
となる．式（Ｅ２８）にＫ^（４）系の原点x⁽⁴⁾=y⁽⁴⁾=z⁽⁴⁾=0 を代入することにより，Ｋ系においてＫ^（４）系の原点位置の時間変化

　　　（Ｅ29）
を得る．Ｋ系においてＫ^（４）系の原点の速度をu''とする．速度u''の大きさを求めると

　　　（Ｅ30）
となる．

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制作：須田隆良（2002/2/24）修正（2003/12/21）

E-Mail: knxkg921@ybb.ne.jp

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